タンジェント（tan)の不等式の解き方を紹介します。
問題
$$ 0^{\circ} \leq \theta \leq 180^{\circ} において$$
$$\tan \theta \leq \sqrt{3}を解いてください。 $$
（【注】すみませんが不等号≦のイコールの横棒が１本消えてますので書き足して読んでください。）
手順１ 単位円上でタンジェントが現れるところはどこかふりかえります。（すでにご存知でしたら略してください。正確には単位円の外側ですが。）
ｘｙ平面で、原点中心、半径１の円、すなわち単位円上で考え、この不等式の問題を解決することにします。（ほかにも方法はありますが、まずは１つ方法を身につけていただきたいです。）
では、単位円のどこでタンジェントは現れるかというのを知っておかないといけません。詳しくは、以前の記事でお伝えしましたが、もう一度ふりかえっておきます。
事前に直線x=1を引いておきます。（ｘ＝１のところの、ｙ軸に平行なタテ線）
$$\tan \theta $$がこの平面上にどこに現れるかといいますと、
点Pが点（１，０）をスタート地点にして円周上をθ反時計回りに回ります。
回転後の点Pと原点Oを結んだ直線OPを延長させて直線ｘ＝１と交わらせます。（ぶつからせます。）
その交わった点、交点をTと名付けるとこの点Tはｘ座標は１ですが、（直線ｘ＝１の上にあるからです。）ｙ座標が$$ \tan \theta $$でございます。
したがいまして、もう一度、今解こうとしている不等式を書きますと、
$$\tan \theta \leq \sqrt{3} $$
この不等式を解こうとしているのですが、この不等式を頭の中で（答案には書かないで、計算用紙ならいいと思います。）
点Tのｙ座標が ≦ √３ （点Tのｙ座標がルート３以下のときのθを答える）
と読みかえて考えていくと良いです。
手順２ 点Tのy座標の条件をｘｙ平面に書き加える
不等式を
点Tのｙ座標が ≦ √３ （点Tのｙ座標がルート３以下のときのθを答える）
と読みかえたのですから、この読みかえにしたがって、直線ｘ＝１上の中で、点Tがいてもいいところ、（この問題ですとルート３以下）を太線などで明確にしていくと良いでしょう。
いま太字にしたところ(上の図では赤く塗りました）に点Tがいれば不等式を満たします。
それでは、点Ｔがこの範囲にいるようなθを指定された範囲０度から１８０度までで探していきます。
指定されたθの範囲で該当するθ（あてはまるところ）を答えていきます。０度から順に探していくとモレがないです。
イメージとしては点Pを０度、１０度、２０度、・・・と徐々に回転させていき、その都度
その時の点Tが指定された範囲に入っているか確認していきます。
すると、ちょうど点Tが√３になるところが現れます。
これは辺の比を利用すると、３０度と６０度のほうの三角定規の直角三角形が登場しますから、θが６０度だと分かります。
６０度をこえると９０度まで点Tは√３をこえてしまいますのであてはまりません。（９０度のタンジェントはそもそもないですね。）
９０度を少しでもこえますと、今度は点Tはｘ軸より下、ｙ座標がマイナスのところに現れます。√３以下という条件を満たしていますので、答えに入ります。
１８０度まで回していくとずっと√３以下の条件をみたします。答えがもう１つ見つかりました。
したがって、求める答えは
$$0^{\circ} \leq \theta \leq 60^{\circ}, \ 90^{\circ} < \theta \leq 180^{\circ} $$
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